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Vos meilleures énigmes(176 contributions)

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Casse-tête fraternel

Gepi le 26 avril 2010

Déposez votre énigme.

Dans cette école, la moitié des enfants qui ont des frères sont des filles qui
n'ont pas de sœurs ; et la moitié des enfants qui ont des sœurs sont des
filles qui n'ont pas de frères. Il y a autant de garçons qui n'ont pas de sœurs
que de garçons qui ont des sœurs mais pas de frères. En tout, les enfants qui
ont des sœurs sont 14 de plus que ceux qui ont des frères.
Combien y a-t-il de fils uniques dans l'école ?

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Gepi
Foin de la musique pascale donc : serait-elle plutôt en Ré ?
Ou, si point dans l'îlot,
viendrait-elle de Lalo le lillo, comme moi d'ailleurs ?
Certes, sans rancune aucune - j'ai ri de bon cœur -
et bonne nuit en toute bonne foi !
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Pascal Music
Mèèèèèèh euuuuuuh ... !
Que lis-je ?
Aurais-je pu me fourvoyer dans mon raisonnement ? ! ?
Nan, nan , nan… Je n'arrive à m'en convaincre... ! Doit y avoir quelque chose qui cloche (rien à voir avec celles de Pâques… ou de l'île... )
Euuuuh... Bon, d'accord, elle est naze ... !

En fait, ce doit être que l'énoncé ait été modifié, pour que la démonstration de Gepi soit cohérente...
Ouais... Alors, ça, ça me plaît bien comme explication… !
Quoi ? ! ? Moi, de mauvaise foi ? Alors, ça, c'est tout bonnement im -po -ssible ! : -)

Bon, je me console en me disant que moi au moins, n'a pas eu bobo-la-tête après mon éloquente démonstration... ! : -)

Allez, bonne journée et (j'espère) sans rancune, chère Gepi.

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Gepi
Désolé: le lien a un petit problème:
http://www.linternaute.com/humour/temoignage/temoignage/327778

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Gepi
; -) Rôôôôh là-lààààà ! Pascal a du attraper une hernie cérébrale et la fièvre matheuse pour parvenir à cette
conclusion qu'il s'agit d'une école de filles tout simplement !
J'ai adoré la désinvolture de sa démonstration: "La réponse
c'est 0..."
Ben non: c'est 0... Pour Pascal. Car enfin: qui sont les enfants
qui constituent les deux autres moitiés dont parlent les deux
premières données ?
Si c'était une école de filles, comment pourrait-on avoir, à la fois,
F2 = F4 et F3 = F4, c'est-à-dire F2 = F3 d'une part,
(suivant les deux premières données)
et F2 + 14 = F3 d'autre part,
(suivant la quatrième donnée) ? C'est impossible.
De toute évidence, la différence de 14 enfants est distribuée
entre filles et garçons: ça ne peut pas être une école de filles.
En effet, on en conclut que F3 - F2 = 7 et aussi que G3 - G2 = 7.
Il y a 7 garçons ayant seulement des sœurs de plus que de
garçons ayant seulement des frères: il y a donc au moins 14
garçons dans l'école.
Pour les symboles, voir "Casse-tête fraternel: la solution"
http://www.linternaute.com/humour/temoignage/temoignage/ 327778
et enlever tous les G (les ensembles de garçons).
Après cela, Pascal doit entendre voler les cloches de Pâques et peut-être aussi s'être fait une bosse (celle des maths ? ).
C'est pas méchant: c'est pour rire !
Il aurait pu lire ma première réponse à Elisa qui, elle, disait: "Il me semble qu'il n'y a pas d'enfant unique."
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Gepi
A Corinne : voyez la réponse de Myriam
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Pascal Music
Rôôôôh là-lààààà ! La réponse c'est 0...
Il s'agit d'une école de filles tout simplement.
Ben oui, le début de l'énoncé est : Dans cette école, la moitié des enfants qui ont des frères sont des filles qui n'ont pas de sœurs ; et la moitié des enfants qui ont des sœurs sont des filles qui n'ont pas de frères.
La question posée est : Combien y a-t-il de fils uniques dans l'école et non : combien y a-t-il filles uniques (ou à la limite d'enfants) uniques...

J'ai adoré les considérations matheuses... Alors si on prend A + B divisé par racine cubique de C... Qu'on multiplie par 1/2, le tout dans un consortium espace temps relatif, on obtient euhhh… 7 ?
Allez, c'est pas méchant c'est pour rire... : -)
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Corinne
On ne peut pas le savoir - on ne sait même pas combien il y a d'enfants en tout !
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Gepi
Nous, les casse-têtes nous amusent.
On s'en fout, Christophe, que vous vous en foutiez !
Pourquoi prendre la peine, en plus du mal de tête, de nous le faire savoir ?

D'accord avec Robert Simonet: compréhension du message et traduction, autrement dit: organisation de la réponse. La sienne, si
l'on met de côté les aléas des alinéas, est économique dans la démonstration (encore que la proposition 4 prenne un raccourci ou deux) mais non dans la définition des variables. Cela dit, elle est simple et claire (quoiqu'elle arrive après la bataille.. )
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Christophe
Rien qu'en vous lisant, j'ai pris mal à la tête ! Pour moi la réponse est : on s'en fout !
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Robert Simonet
Il s'agit, bien sûr, d'un test sur la compréhension d'un message.
Il faut comprendre et traduire.

J'appelle:

a = nombre de filles avec
soeur

b = nombre de filles avec
frère

c = nombre de filles avec soeur
et frère

d = nombre de filles
uniques

e = nombre de garçons avec
soeur

f = nombre de garçons avec
frère

g = nombre de garçons avec soeur
et frère

h = nombre de garçons
uniques

La question est
h= ?

Traduisons les propositions en
relations:

Proposition 1 =>1/2
(b+c+f+g ) = b b = c+f+g

Proposition 2 =>1/2 (a+c+e+g )
= a a = c+e+g

On déduit de ces deux premières
égalités que: a-b =e -f

Proposition 3 =>f+h=e soit:
h = e-f et, suivant l'égalité ci-dessus: h = a-b

Proposition 4 =>a+e= 14+b+f
soit: a-b + e-f = 14, c'est-à-dire 2 h = 14

Soit h = 7.

cqfd
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Gepi
Tu as parfaitement raison, Cédric : en ajoutant + G
dans ses 2 premières équations, Robert a inclus, plus
ou moins implicitement, les Girls uniques (G)
dans les enfants avec frères (F) et dans les enfants
avec sœurs (S).. C'est la catégorie - je plaisante -
des filles uniques avec frère(s) et sœur (s) ! ...
Bien repéré: ça m'avait échappé.

(nb : le spellchecker s'obstine à trouver des fautes dans les mots "énoncé", "sœur " (mais pas dans "soeur")
et à ajouter des espaces ici et là, au hasard..)
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Cedric
Gepi, pour les mêmes raisons que tu avances dans ton raisonnement, je pense que les 2 premières équations de Robert sont fausses car elles incluent les filles uniques parmi les filles qui ont des frères ou des sœurs. Cela dit, le résultat final n'en pâtit pas parce que ces termes disparaissent par soustraction.
La mise en équation me semble donc fausse, bien que le résultat soit juste.
(j'avais déjà écrit à ce sujet, avant d'envoyer la solution, mais ça n'a pas été publié).

Salut !
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Gepi
Bravo Robert et Cédric !
Pour ma part, j'ai bêtement tendance à perdre les conventions de Robert (B (boy) G (girl)) et à lire G garçon ! Leur avantage, bien sûr, est d'éviter l'embarras d'avoir à choisir entre
F = fille et F = frère.. Mais il est facile
de s'emmêler les pinceaux (ou devrais-je dire les brushes ? )
D'autant que Cédric a élu F pour désigner les enfants avec frère : l'on a du mal à s'y retrouver comme dit Etienne.

Donc, pour répondre à Louis, je vais m'en tenir
aux symboles utilisés dans
"Casse-tête fraternel: la solution"
A: Enfants avec frère(s).
B: Enfants avec sœur (s).
F: Filles ; G: Garçons.
1: N'ayant ni frère ni sœur .
2: Avec frère(s) mais sans sœur .
3: Avec sœur (s) mais sans frère.
4: Ayant frère(s) et sœur (s).
La 1ère donnée est F2 = A / 2
"la moitié des enfants qui ont des frères sont
des filles qui n'ont pas de sœurs ": les filles
avec frère(s) mais sans sœur (s) constituent
la moitié de A.
L'autre moitié est formée de G2 + G4 + F4.
Ce n'est pas A / 2 = F1 + F2 comme l'interprète
erronément Louis ("la moitié des enfants qui ont
des frères est égale au nombre de filles qui n'ont
pas de soeurs")
En effet, cette formulation inclurait les filles
uniques. Mais l'énigme parle de filles qui font partie
des "enfants qui ont des frères" et qui, évidemment,
ne sauraient être filles uniques puisqu'elles ont
un frère (ou plusieurs) et, donc n'affirme rien sur
le nombre des filles sans sœurs en général
(F2 et F1, non représenté sur mon graphe
car on cherche le nombre de fils uniques).
Il en va de même pour la seconde donnée: F3 = B / 2
"la moitié des enfants qui ont des sœurs sont des
filles qui n'ont pas de frères" ;
et non point B / 2 = F1 + F3 ("la moitié des enfants
qui ont des soeurs est égale au nombre de filles
qui n'ont pas de frères") suivant la 2ème équation
mal posée par Louis avec les mêmes conséquences.
Enfin Louis affirme, mais sans le justifier, que
dans cette hypothèse, le résultat est 7.
"Avec le texte de l'énoncé pris à la lettre,
ajoute-t-il, le résultat est 14".
Bien sûr, on est en droit de demander: pourquoi
ne pas respecter la lettre de l'énoncé ? ..
Mais, en outre, il s'avère qu'il n'en est pas ainsi
que l'affirme Louis: le résultat est en fait le
même dans les deux cas: 7.
Ce qui signifie que le nombre de fils uniques est
indépendant du nombre de filles uniques.
En effet, G1 est la seule valeur absolue (14/2).
Toutes les autres sont relatives:
F3 - F2 = 7 ; G3 - G2 = 7.
Rien n'est indiqué pour F1 mais on sait que
G1 = G3 - G2
("Il y a autant de garçons qui n'ont pas de sœurs
que de garçons qui ont des sœurs mais pas de frères").
G3 - G2 est la demi-différence de B et A, qui est
énoncée absolument dans le problème (14).
Donc, quelles que soient leurs variations,
G1 ne change pas.

Cela (F3 est relatif à F2 et G3 est relatif à G2)
devrait également répondre à Marie-France qui,
je l'avoue, m'a perdu dans son cheminement..
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Cedric
Voilà ma solution, qui aboutit toujours à 7 :
En maintenant les notations de Robert :

1. "la moitié des enfants qui ont des frères sont des
filles qui
n'ont pas de sœurs "

Le nombre F d'enfants qui ont des freres est tel que:
F = Gf + Bf + Bfs + Gfs.
Or la phrase 1 nous dit que F/ 2 = Gf , d'où Gf = Bf + Bfs + Gfs (eq 1)

2. "la moitié des enfants qui ont des sœurs sont des filles
qui n'ont pas de frères"
De meme S = Gs + Bs + Bfs + Gfs, et S/ 2 = Gs , d'où Gs = Bs + Bfs + Gfs (eq 2)

3. "Il y a autant de garçons qui n'ont pas de sœurs que
de garçons qui ont des sœurs mais pas de frères"
se traduit par B + Bf = Bs (eq 3)

4. "En tout, les enfants qui ont des sœurs sont 14
de plus que ceux qui ont des frères"
se traduit par Gs+ Gfs + Bs + Bfs = 14 + Gf + Gfs + Bf + Bfs, soit en eliminant les termes identiques à droite et à gauche,
Gs + Bs = 14 + Gf + Bf (eq 4)

Voilà pour la mise en équation.

Résolution:
- (eq 1 - eq 2) donne Gs - Gf = Bs - Bf (eq 5)
- or eq 3 nous dit Bs - Bf = B, donc eq 5 nous donne aussi Gs - Gf = B (eq 6)
- (eq 4) se réécrit Bs - Bf = 14 + Gf - Gs , qui grace à eq 5 et eq 6 s'écrit B = 14 - B.
D'où 2B = 14 et donc B = 7 qui et le nombre de garçons sans frere ni soeur, donc le nombre de fils uniques
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Gepi
Bien démêlé, Etienne !
Je propose une autre présentation de la même solution dans une nouvelle contribution ("Casse-tête fraternel : la solution")
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Louis
Le problème est mal posé. Si la première affirmation est la moitié des enfants qui ont des frères est égale au nombre de filles qui n'ont pas de soeurs et si la deuxième affirmation est la moitié des enfants qui ont des soeurs est égale à au nombre de filles qui n'ont pas de frères, alors le résultat est 7. Avec le texte de l'énoncé pris à la lettre, le résultat est 14
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Marie-France Agote
Bonjour voici mon cheminement

½ filles + frères et sans sœurs

½ filles + sœur sans frères

/ Garçons seuls 14

/garçons + sœurs

Frères et sœurs = 14

28 filles qui ont des frères, 14 frères et sœurs , et 14
garçons uniques en tout il doit y avoir 56 élèves
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Robert
Chacun y va de la sienne, mais aucune méthode.
En voici une qui permet de trouver que le résultat est bien 7.
Le tout est de bien poser le problème. On pose les variables suivantes en appelant B (boy) G (girl) s (soeur) f(frère) selon le principe suivant.
G ce sont les filles uniques, B les garçons uniques, Gfs les filles qui ont des frères et des soeurs, Bs les garçons qui n'ont que des soeurs, etc...
On a ainsi les 4 équations suivantes selon l'énoncé
(Gfs + Gf + Bfs + Bf )/2 = Gf + G
(Gfs + Gs + Bfs + Bs )/2 = Gs + G
Bf + B = Bs
Gfs + Gs + Bfs + Bs = 14 + Gfs + Gf + Bfs + Bf

la résolution de ce système par soustraction (Bf - Bs ) donne
B = Bs - Bf = Gs - Gf
et finalement on arrive à Gs - Gf = 14 + Bf - Bs et 2B = 14
d'où B = 7
c'est infaillible
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Etienne Roger
C'est vrai que l'on a du mal à s'y retrouver.
Il faut distinguer les filles uniques, les filles qui ont au moins un frère mais pas de soeurs, celles qui ont frères et soeurs et celles qui ont soeurs mais pas de frères. (Idem pour les garçons) Il s'agit d'une partition, chaque enfant appartient à une catégorie et une seule. Pour simplifier l'écriture j'emploie le pluriel même quand l'enfant n'a qu'une soeur ou qu'un frère. Les enfants qui ont à la fois frères et soeurs sont comptabilisés à la fois dans le total de ceux qui ont des frères et de ceux qui ont des soeurs. Ce qui différencie ces deux totaux ce sont les enfants qui ont des frères mais pas de soeurs et ceux qui ont des soeurs mais pas de frères. La différence des deux nombres est 14.
Mais 50% de cette différence se retrouve entre les filles qui ont des soeurs mais pas de frères et les filles qui ont des frères mais pas de soeurs. C'est à dire qu'il y a 7 filles de plus qui ont des soeurs mais pas de frères que celles qui ont des frères mais pas de soeurs.
Pour faire 14 il faut également qu'il y ait 7 garçons ayant des soeurs mais pas de frères de plus que des garçons ayant des frères mais pas de soeurs. Si vous avez suivi, le plus dur est passé.
Le nombre (A) de garçon ayant une soeur mais pas de frères est égal à la somme du nombre (B) de garçons ayant au moins un frère mais pas de soeur et le nombre (C) des fils uniques.

A = B + C
mais B = A - 7 d'après ce qui est écrit plus haut

Ce qui fait que C est effectivement égal à 7
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Gepi
Ce n'est pas une devinette : pourquoi 14 ? Pourquoi 0 ?
Et également : pourquoi 7 - réponse juste - Sylviane ?
Il y a assez de données dans l'énoncé pour fournir une réponse justifiée.
La conclusion de Myriam est erronée
("Ce problème ne peut être résolu") mais elle indique une bonne piste :
"la constitution des 50 % restant dans chaque ensemble".
Encore faut-il définir ces ensembles...
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Myriam Eiras Novo
Ce problème ne peut être résolu car il n'y a pas assez de données dans l'énoncé ; il faudrait au moins savoir le nombre total d'enfants. Les taux indiqués s'appliquent à des groupes séparés : ceux qui ont des frères, et ceux qui ont des soeurs. Il y a trop d'incertitudes quant à la constitution des 50 % restant dans chaque ensemble : sont-ce des filles avec soeur(s), des filles avec frère(s), ou des garçons ?
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Bruno Botto
Tout simplement : 14
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Alain
Comme Elisa je pense qu'il n'y en a pas
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Elisa
Désolée, je suis étourdie, un vrai cancre !
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Gepi
Bien vu Sylviane ! Mais comment ?

Elisa : on demande le nombre de garçons sans frère ni sœur
et non combien il y a d'enfants uniques.
De plus, il n'est pas dit que "la moitié des filles ont des frères et l'autre moitié ont des soeurs".
Il est question de la moitié des enfants qui ont des frères ;
puis de la moitié des enfants qui ont des sœurs.
Pour prendre un exemple :
la moitié des 20 animaux blancs sont des chats ;
la moitié des 6 animaux noirs sont des chats :
ça ne veut pas dire que la moitié des chats sont blancs et l'autre noirs. Il y en a 10 blancs et 3 noirs. Il peut
encore y en avoir 5 bleus
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Elisa
Il me semble qu'il n'y a pas d'enfant unique car la moitié des filles ont des frères et l'autre moitié ont des soeurs
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Sylviane Calimet
Il y en a 7
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