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Vos meilleures énigmes(176 contributions)

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Exposant et multiple

José le 30 juin 2010

Déposez votre énigme.

Sachant que a, b, et c sont des nombres entiers, quelle doit être la valeur de l'exposant (*), et de quel multiple doit être la somme (a+b+c), pour que se vérifie la formule [a*+b*=c* ] ?

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Gepi
José a déjà reformulé l'énoncé de l'énigme :
"a, b, et c étant des nombres entiers,
[a*+b*=c* ] se vérifie lorsque :
la puissance (*) est égale à … (compléter)
et que (a+b+c ) est un multiple de … (compléter)"

(voir plus bas sur cette page: 5e intervention à partir du bas).

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Harold Helies
Je pense que l'énoncé est mal formulé. Il s'agit de trouver un multiple de quel nombre ? De l'esposant ? (sachant que ce multiple doit correspondre à la somme de a b et c)
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Cb Diogo
3x3 + 4x4 = 5x5
6x6 + 8x8 = 10x10
9x9 + 12x12 = 15x15
...
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Gepi
Supplément :
J'ai montré qu'avec m et n entiers positifs (n étant impair), l'on produit
a = 2m(m + n)
b = n(2m + n)
c = m(2m + n) + n(m +n )
où a, b et c constituent n'importe quelle triade pythagoricienne primitive
et que leur somme a + b + c vaut 2(m + n)(2m + n) et inclut donc 2, m + n et 2m + n parmi ses facteurs.

Si l'on demande: d'où sortent ce m et ce n ?
On peut faire remarquer que 2(m + n), c'est a/m et que 2m + n, c'est b/n .
Autrement dit a + b + c = ab/mn .
Or mn = (a + b - c) / 2.
Donc a + b + c = 2 x ab / (a + b - c). Ainsi, pour que les entiers naturels a, b, c vérifient l'équation a2 + b2 = c2 et soient des triplets primitifs,
ou, si l'on préfère, pour que le triangle ayant pour longueurs de ses côtés a, b et c (entiers) soit rectangle,
il faut que ab/ (a + b - c) soit entier. En outre il faut que leur somme soit paire et qu'elle soit divisible par le quotient du produit des longueurs des petits côtés par leur somme diminuée de la longueur du plus grand.

C'est moins précis que la 1ère formule mais peut-être plus'parlant'puisque ça n'invoque uniquement que a, b et c.
Soit dit en passant, on peut l'exprimer autrement:
a2 + b2 = c2
or a2 + b2 équivaut à (a + b)^2 - 2ab
donc (a + b)^2 - c^ 2 = 2ab
d'où (a + b + c)(a + b - c) = 2ab
autrement dit a + b + c = 2 x ab / (a + b - c) comme ci-dessus.
Le quotient du produit des longueurs des petits côtés par leur somme réduite de la longueur du plus grand est un facteur du périmètre du triangle rectangle (ou de la somme des 3 entiers du triplet primitif)
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Gepi
Après quelques recherches et en ne prenant en compte que les triplets primitifs - qui n'ont pas de facteurs communs hormis 1 - (puisqu'aussi bien les autres en sont dérivés), il ressort que des 2 plus petits nombres (a et b) l'un doit être pair, l'autre impair. Le 3ème étant impair (comme l'hypothénuse d'un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont des nombres entiers), il est évident que la somme a + b + c est toujours paire (comme le périmètre du dit triangle). Ceci dit, on peut trouver des facteurs plus intéressants que 2.
Etant donné que les triplets primitifs peuvent être engendrés à partir de certaines formules (je ne donne pas les détails, assez complexes: on les trouve sur les sites matheux, wikipedia etc.. ), il me semble que celle qui suit fournit une bonne réponse à l'énigme.
Soit 2 nombres entiers positifs m et n, avec n impair. Tous les triplets primitifs peuvent être engendrés ainsi:
a = 2m(m + n)
b = n(2m + n)
c = m(2m + n) + n(m +n )
Cela donne une somme a + b + c = 2(m + n)(2m + n)
Pour prendre quelques exemples:
En premier, le triplet scolaire, cher à Patrick, qui se construit avec m = 1 ; n = 1:
a = 2(1 + 1) = 4
b = 1(2 + 1) = 3
c = 1(2 + 1) + 1(1 +1) = 5
et leur somme égale: 2(1 + 1)(2 + 1) = 12
Autre exemple, avec m = 2 ; n = 7:
a = 2*2*9 = 36
b = 7*11* = 77
c = 2*11 + 7*9 = 85
et leur somme: 2*9*11 = 198
Avec m également impair, par exemple, m = 3 ; n = 5
a = 6*8 = 48
b = 5*11 = 55
c = 33 + 40 = 73
a + b + c = 2*8*11 = 176
Avec la formule a + b + c = 2(m + n)(2m + n), on constate donc que la somme des triplets primitifs est non seulement multiple de 2 mais qu'elle l'est aussi de m + n et de 2m + n.
J'espère que cela suffira à étouffer dans sa gorge les cris de Pierrot de F car j'avoue m'être ici risqué dans une mathématique de haute voltige
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Michel Rodriguez
L'exposant doit être 2 et la somme (a+b+c ) doit être paire. Facile à démontrer
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José
M. De Fermat, puisque vous disposez ici d'une place plus grande que la marge de votre fameux carnet, donnez nous donc la solution complète, dont Gepi s'est approché !
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Pierre De Fermat
Je crie au plagiat
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Gepi
J'aurais dû dire : la plus petite des 2 variables a et b
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Gepi
Ma supputation (après avoir lorgné un peu les tablettes pythagoriciennes de quelques sites matheux, je le confesse) :
L'équation se vérifie lorsque * = 2 et la somme (a + b + c) est un multiple de la plus petite des 3 variables
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José
Je formule autrement :
a, b, et c étant des nombres entiers,
[a*+b*=c* ] se vérifie lorsque :
la puissance (*) est égale à … (compléter)
et que (a+b+c ) est un multiple de … (compléter)
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Gepi
Que veut dire "de quel multiple doit être la somme"
(si ce n'est pas une somme de multiples (au pluriel)) ?
Pardon pour mon ignorance !
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José
Vous ne répondez que partiellement à la question
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Patrick Serru
Ça marche au moins pour
*
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Patrick Serru
Une solution avec "astérisque" vaut 2, "a" vaut 3, "b" vaut 4 et "c" vaut 5 soit:
3² + 4² = 5²
L'exercice consiste à placer la réponse. La réponse elle même n'ayant aucune valeur, vue qu'on apprend ça en 6ème !
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