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 Des petits cubes, des gros cubes ! 
Gepi
, Canberra
le 28 décembre 2010
Déposez votre énigme.
On a 11 cubes : 4 de 8 centimètres de côté, 2 de 4cm, 3 de 3cm et 2 d' 1cm...
On les aligne - en partant d'un cube de 3cm, en ligne droite et face contre face - sur une longueur de 51cm...
Dans quel ordre faut-il les ranger pour qu'ils permettent de mesurer toutes les longueurs (entières : pas de décimales) de 1 à 48 centimètres ?
Pour les mesures, on se sert d'un cube ou de plusieurs cubes adjacents mais on ne peut déplacer aucun des cubes. Le premier cube est obligatoirement un cube de 3cm.
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Gepi
Odette : ça veut dire qu'avec la disposition des cubes décrite, on peut mesurer toutes les longueurs, comprises entre 1 et 48 centimètres, de toutes sortes de choses : un morceau de fil, de tissu, de papier etc..
Bien sûr ce n'est pas très utile : on peut toujours mesurer avec un mètre ruban, un double-décimètre, un vernier, un pied à coulisse, une chevillère, un décamètre, un mètre pliant, une toise, une chaîne d'arpenteur, un tachéomètre... Sans parler de ces petits bidules roulants qui permettent de mesurer les distances sur les cartes !
C'est juste pour s'amuser: il s'agit de trouver l'unique disposition des cubes qui permet une mesure de toutes les longueurs de 1 à 48 cm
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Odette Dupont
Comprends rien, puisqu'il faut faire une ligne, on peut toujours mesurer
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Gepi
Bien vu, Nico.
Bon sang, mais c'est bien sûr !
On voit assez vite l'intérêt de la base 8 et on arrive rapidement à la conclusion que Nico a raison.
Mais seulement après qu'il nous l'a savamment expliqué, bien entendu...
Pourtant il y a un hic.. Ou deux.
Faut-il vraiment construire les nombres ?
Non, évidemment, puisque j'avais indiqué les nombres et les tailles des divers cubes dès la 1ère phrase de l'énoncé. D'ailleurs, on remarque immédiatement que ce ne sont pas 2 cubes de 3 cm qui y sont donnés mais 3.
Il est certes vrai que la somme des multiplications 4*8+2*4+2*3+2*1 égale 48, la plus grande longueur qu'on doive mesurer.
Mais le 3 en plus n'est-il qu'un 3 de "réserve", comme dit Nico ?
A 1ère vue, c'est le cas puisque l'énigme indique une longueur totale de 51cm et 48cm seulement comme maximum à atteindre..
Mais, à l'essai, on s'aperçoit, au bout de quelques tâtonnements, que ce 3 surnuméraire est indispensable et donc que l'essentiel est plutôt dans la disposition des nombres (ou des cubes si l'on préfère) que dans leur somme (requise par définition mais, de toute façon, donnée avec l'énoncé ), qu'elle soit ou non présentée en base 8.
Par exemple, pour passer de 24 à 25 puis à 26, on utilise 3*8 puis seulement 2*8 + 9 (les'petits'de gauche) et ensuite 2*8 + 10 (les'petits'de droite).
C'est du fait de leur disposition - ou, comme je l'écrivais dans l'énoncé du problème, parce "qu'on ne peut déplacer aucun des cubes" -, qu'il y a une solution pour toutes les mesures et qu'il n'y en a qu'une seule pour chaque longueur supérieure à 8.
Et ce 3 de "réserve" que l'on doit mettre à l'un des 2 bouts de la ligne de cubes, qu'est-ce qu'il a donc de spécial ?
Il a ceci qu'il est nécessaire à la mesure d'un bon nombre des longueurs ; et qu'il nous fournirait même un 51 s'il le fallait (j'entends des bruits d'apéro ! ) ; mais qu'il n'est pas possible, avec cette série, de produire les longueurs 49 et 50.
On doit donc se contenter de 48 comme maximum et l'on a un 3 surnuméraire et indispensable
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Nico
On voit assez vite qu'il faut construire les nombres en base 8, de 1 jusqu'à 48 = 6*8 = 4*8+2*4+2*3+2*1 (il reste un 3 de "réserve").
On juxtapose donc les quatre 8 et on s'arrange pour que de part et d'autre on puisse constituer les chiffres de 1 à 7 (modulo 8) : comme dit précédemment les 1 doivent nécessairement être contigus pour faire le 2 ; en y adjoignant un 4 on construit 5 et 6, l'astuce consiste à voir que l'on peut fabriquer les derniers "8" en répartissant judicieusement les cubes 4, 3, 1 de part et d'autre des quatre 8.
Donc: 8|8|8|8 au centre ; 3|4 à droite pour faire le 7 ; 1|1|4 à
gauche pour faire 1, 2, 4, 5, 6 (le 3 étant déjà à droite). On arrive
rapidement à la solution
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Gepi
La Soluce
Tâtonnements, essais et intuition : c'est en effet la bonne voie pour ce problème.
Bravo à Vincent qui a ainsi trouvé la bonne solution !
Il s'agit bien de
3 1 1 4 8 8 8 8 3 4 3
Un exemple pour éclairer Dominik :
Si l'on veut obtenir
31 : 8+8+8+3+4 (uniquement des cubes voisins)
32: 8+8+8+8
33: 3+1+1+4+8+8+8
34: 8+8+8+3+4+3
etc..
Pour faciliter la compréhension, on peut observer que les nombres à gauche des quatre 8 donnent une somme égale à 9. Ceux qui se trouvent à droite des quatre 8 ont une somme égale à 10. Cela donne une idée au sujet de la progression dès qu'on atteint les deux dernières dizaines
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Vincent Godard
Bon, il faut un peu tâtonner, mais on voit vite qu'il faut que les deux 1 soient côte-à-côte pour faire le 2, et que pour arriver à faire les grands nombres que les quatre 8 soient ensemble et plutôt au milieu.
Résultat: 3 1 1 4 8 8 8 8 3 4 3
Bon courage à ceux qui continuent à chercher...
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Dominik Déjardin
Je ne comprends même pas l'énoncé !
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Gepi
Les petites cellules grises ont l'air d'être toutes gelées...
Voici donc un petit tuyau (de poêle à mazout, bien entendu ! ) :
Le dernier est également un cube de 3 cm de côté
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