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Vos meilleures énigmes(176 contributions)

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Père et fils

Yves (92) le 11 juillet 2011

Déposez votre énigme.

Un père dit à son fils :
"Aujourd'hui, j'ai 2 fois l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as. Quand tu auras l'âge que j'ai aujourd'hui, nous aurons ensemble 189 ans".
Quel sera alors l'âge du père et du fils ?

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Yves (92)
La solution de gepi est la bonne et merci pour cette brillante démonstration.
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Gepi
C'est une variante de l'énigme des 2 âges déjà posée moult fois..
On demande quels seront les âges des 2 personnes dans le futur et non à l'heure où ils parlent..
Le fils aura l'âge actuel du père soit 4 neuvièmes de 189 = 84 ans
Le père aura les 5 neuvièmes restants soit 5 * 189 / 9 = 105 ans.
Je résume l'"explication par la fin" que j'avais fournie dans
http: //www. Linternaute. Com/humour/temoignage/temoignage/321750/toujours-une-question-d-age/

"j'ai 2 fois l'âge" ; "nous aurons ensemble 189 ans. "

Appelons n ce nombre de fois et T le total de leurs âges dans le futur.
En utilisant V et J pour les âges actuels du plus vieux et du plus jeune, on peut généraliser les équations déjà rencontrées plusieurs fois.
Comme "l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as" est toujours: J - (V - J), il égale 2J - V.
Et comme le total de nos âges "quand tu auras l'âge que j'ai aujourd'hui" est toujours: J + (V - J) + V + (V - J), il vaut 3V - J
On a donc 2 clauses:
(1) V = n(2J - V)
(2) T = 3V - J
La 1ère clause, une fois réarrangée, nous fournit la proportion entre J et V:
J/V = (n + 1)/2n
Dans cette énigme-ci où n = 2 ("j'ai 2 fois l'âge"), leur proportion est donc de:
(2+1)/(2*2) soit 3/4.
La 2ème clause, une fois réarrangée et comparée à la 1ère, nous fournit la proportion entre T et V:
J = 3V - T donc, en remplaçant J par la valeur qu'il a dans la 1ère clause, on obtient:
3V - T = V(n+ 1)/2n et en simplifiant, on obtient:
T/V = 3 - (n+ 1)/2n
Par exemple, dans cette énigme-ci (avec n = 2), T/V = 3 - 3/4 = 9/4
ou, si l'on préfère, V = 4T/9
Cela donne aussi la proportion entre T et J:
J = T / 3
Autrement dit, l'âge actuel du père est de: 189 / 9 * 4 = 84 ans.
Celui du fils est de = 189 / 3 = 63 ans (ce qui est bien les 3/4 de 84).
Dans 21 ans (leur différence d'âge), ils auront 105 et 84 ans.
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