Escher, artiste "hyperbolique"

Le disque hyperbolique de Poincarré, l'inventeur de la géométrie hyperbolique. Plus elles approchent du bord du disque, plus les formes rapetissent. © MathWorld

Couleurs, symétries, géométrie… Quand il découvre les mosaïques maures au début du XXè siècle, le jeune Hollandais Maurits Cornelis Escher est stupéfié. Plus tard, lorsqu'il deviendra artiste, la plupart de ses dessins et gravures reprendront cette idée de figures qui s'imbriquent les unes dans les autres. C'est déjà très mathématique, et pourtant Escher va plus loin.

L'artiste est très préoccupé par la perfection de ses œuvres. Pour lui, elles doivent suivre une logique infaillible. C'est dans cet esprit que l'artiste, dans les années 50, cherche une façon de représenter sur papier le concept d'un univers à la fois fini et infini, cerné par le néant. Comment faire ?

Un outil mathématique pour une œuvre parfaite

En 1954, Escher expose son problème au mathématicien canadien Donald Coxeter. Ce dernier lui offre le cadre mathématique qui va l'aider : la géométrie hyperbolique. La géométrie hyperbolique ? Difficile à se représenter car elle viole une loi de la géométrie euclidienne (classique). Dedans, on peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point.

Grâce à cet outil, Escher réalise alors des dessins fascinants. Il lui permet notamment de représenter un univers à l'intérieur d'un cercle, dans lequel le contour représenterait l'horizon et l'extérieur, le néant. Pour fabriquer un horizon infini, Escher dessine des objets qui rapetissent au fur et à mesure qu'ils s'approchent du bord du cercle. Ils deviennent de plus en plus petits, et ce, à l'infini.

Une structure surgie appuyée sur le néant

Voilà pour le concept. Reste à passer à la réalisation. Pas facile car il faut déterminer la position des points de symétrie : les objets doivent garder leur cohérence et leur forme même s'ils rapetissent. Escher crée donc plusieurs oeuvres intitulées successivement Limite circulaire I, II, III et IV, gravures composées de poissons emboîtés.

Pour Escher, la perfection est atteinte dans Limite circulaire III. De ce disque rempli de poissons imbriqués les uns dans les autres, en 4 couleurs, l'artiste dira : "les défauts de Limites circulaire I ont été corrigés. Ici, tous les poissons de la même série sont de même couleur et se suivent, les têtes touchant les queues. Quatre couleurs sont nécessaires pour que chaque série forme un contraste avec son entourage. Aucun des éléments de toutes ces séries ascendantes n'atteindra jamais la limite. Au dehors, il y a le "néant". Ce monde circulaire ne peut cependant pas exister. Car dans le "néant" se trouvent les centres immatériels des arcs de cercle qui constituent le squelette de l'intérieur."