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HISTOIRE(S) DE SCIENCE
 
Décembre 2006

Le cercle au carré

Peut-on transformer un carré en cercle, ou inversement ? Cette quadrature du cercle a occupé les mathématiciens pendant plus de 34 siècles ! Aujourd'hui, on sait que c'est impossible.

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La surface colorée en rose peut-elle être égale à celle colorée en violet ? Non, car la quadrature du cercle est impossible. © DR
"Tant que Pi est considéré comme un nombre rationnel, la quadrature semble possible"

Est-il possible de construire un cercle et un carré de même aire avec une règle et un compas ? Ou encore construire un carré et un cercle de même périmètre ? Eh bien, cette question, a priori anodine, a pourtant défié les mathématiciens pendant plus de 34 siècles.

Dès 1650 av. J.-C, et peut-être même avant mais nous n'en avons pas de trace écrite, les Egyptiens s'intéressent au sujet. Le scribe Ahmès, auteur d'un célèbre papyrus ancien, en propose même une solution approchée. Pour lui, la quadrature du cercle est sans nul doute possible : c'est le carré de côté 8d/9 où d est le diamètre du cercle. Mais il a tort.

Ca a l'air possible mais...

Certes, on peut s'approcher de la quadrature du cercle. Et c'est ce que ne manqueront pas de faire les scientifiques des siècles suivants. Tel Anaxagore de Clazomènes vers 500 av. J.-C, premier scientifique grec à s'intéresser à la question. Suivront Nicholas de Cusa (1404-1464), cardinal et savant renommé, qui avance que 3,1423 est la valeur exacte de Pi. Puis les mathématiciens se rapprochent de plus en plus de Pi.

En 1685, un Polonais, le père Kochansky, construit une approximation géométrique de Pi par moins de 0,02 pour mille. C'est si proche qu'il n'est pas étonnant qu'on ait pu penser arriver un jour à cerner ce fameux nombre Pi. Mais en attendant, tant qu'il est considéré comme un nombre rationnel, c'est-à-dire, un nombre qui s'exprime sous la forme d'une fraction, la quadrature continue de sembler possible.

Il faudra attendre jusqu'en 1882 pour que le mathématicien allemand Ferdinand von Lindemann démontre la transcendance de Pi. Transcendance ? Cela signifie que Pi ne peut pas être la solution d'une équation algébrique à coefficients entiers. Il ne peut satisfaire aucune équation algébrique à coefficients rationnels. Il n'est qu'une suite infinie de termes. Autrement dit, on ne peut pas le représenter géométriquement : la quadrature du cercle est impossible.

Aujourd'hui, ce problème irrésolu pendant plus de 3000 ans a intégré le langage courant puisque chercher la quadrature du cercle est une expression désignant un problème insurmontable.

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