En 1960, Smale, un Américain, démontre que la conjecture est vraie à partir de 5 dimensions. En 1981, un autre Américain, Freedman, fait de même avec la dimension 4. En 2003, Grigori Perelman de l'institut de mathématiques Steklov de Saint-Pétersbourg publie un rapport. En 2006, c'est confirmé : Perelman a bien résolu la conjecture de Poincaré, plus d'un siècle donc après son premier énoncé. Cette reconnaissance a été annoncée officiellement lors du congrès international de mathématiques en août 2006 à Madrid au cours duquel la médaille Fields devait lui être décernée. Cependant Perelman l'a refusée, comme le prix Clay.
La topologie a des applications dans de nombreux domaines et la découverte de Perelman pourrait avoir des répercussions dans la fabrication des puces et autres appareils électroniques utilisés pour les transports ou encore la recherche sur le cerveau.
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