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Les équations de Navier-Stokes permettent de décrire les mouvements des fluides. © DR/Galerie photo de L'Internaute
"Comme au cinéma, le calcul différentiel permet de séquencer, mais de façon infinitésimale"

Navier, ingénieur et mathématicien, découvre les fameuses équations en 1821 et 1822. Elles sont fondamentales dans la description mathématique des fluides. Celles-ci sont correctes mais la méthode pour y aboutir n'est pas correcte. La bonne sera trouvée par Stokes, mathématicien irlandais, quelques années plus tard.

Au XVIIè, les hommes tentent de décrire le mouvement des planètes. Problème : les outils mathématiques sont statiques (point, ligne, nombre…). Comment étudier le mouvement continu d'un objet avec des outils statiques ? Deux savants, Leibniz et Newton, font simultanément et indépendamment une découverte majeure, le calcul différentiel. Pour donner une image familière, si le cinéma donne cette impression de mouvement, c'est parce qu'il la succesion de 24 images/seconde. Eh bien, comme au cinéma, le calcul différentiel permet de séquencer une courbe, mais de façon infinitésimale.

La dérivation : outil du continu

L'opération élémentaire, c'est la dérivation. Elle permet de calculer le taux de changement d'une grandeur variable. Les objets mathématiques auxquels elle s'applique sont des fonctions, et le taux de changement est la pente de la courbe associée à la fonction.

Le calcul différentiel peut s'appliquer à plusieurs dimensions. Par exemple 2. l'interprétation géométrique est alors une surface. Pour analyser un mouvement dans cette surface, il va falloir déterminer le taux de variation par rapport à 2 directions. On parle de dérivées partielles. Enfin, pour un mouvement dans l'espace, il faudra étudier les 3 directions. Parfois, pour étudier un mouvement, il est même nécessaire de dériver plusieurs fois une fonction.

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Bernoulli en 1738, puis Euler un peu plus tard, formulent des équations afin de décrire le mouvement d'un fluide non visqueux soumis à des forces données. Navier et Stokes y ajoutent le paramètre "viscosité" : les fameuses équations sont nées. Elles sont affichées ci-contre.

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