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Sujet illustré

Encore plus fourbe, voici le paradoxe de Russell. L'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ? Si on répond oui, alors, comme par définition, les membres de cet ensemble n'appartiennent pas à eux-mêmes, il n'appartient pas à lui-même : contradiction. Mais si on répond non, alors, il a la propriété requise pour appartenir à lui-même : contradiction de nouveau. On a donc une contradiction dans les deux cas, ce qui rend l'existence d'un tel ensemble paradoxale.

"Le mot chien n'est pas un chien et le mot rouge n'est pas rouge"

Ou bien (pour les allergiques aux maths) : on considère le catalogue de tous les catalogues qui ne se mentionnent pas eux-mêmes. Il s'ensuit la question suivante : ce catalogue se mentionne-t-il lui-même ? S'il se mentionne lui-même, alors il ne fait pas partie de ce catalogue et ne se mentionne donc pas lui-même ; et s'il ne se mentionne pas lui-même, alors il fait partie du catalogue et se mentionne donc lui-même. Dans les deux cas, on se trouve en présence d'une contradiction.

Différentes classes

Pour résoudre ces paradoxes, il faut, comme l'a suggéré Russel au début du XXe siècle, exclure qu'une classe soit membre d'elle-même. C'est-à-dire qu'on peut par exemple créer la classe des chiens, mais la classe des chiens n'est pas elle-même un chien. Si le chien noir de mon voisin aboie sans arrêt et mord le facteur, je ne peux pas en dire autant de la classe des chiens. Autrement dit, la classe des éléments ainsi formée est d'un type logique différent de celui des éléments proprement dit. On comprend bien que le mot chien n'est pas un chien et le mot rouge n'est pas rouge. Le mot qui décrit une chose n'est pas cette chose. Confondre les deux reviendrait, dans un restaurant, à manger la carte du menu au lieu du menu lui- même !

Autre variante : le problème du barbier. Un tel barbier rase tous les hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes, et seulement ceux-là. La question qui s'ensuit est la suivante : ce barbier se rase-t-il lui-même ? Si oui, il appartient à la classe des hommes qui se rasent eux-mêmes et par conséquent, il ne se rase pas lui même. Si non, il appartient alors à la classe des hommes qui ne se rasent pas eux-mêmes et par conséquent, il se rase lui-même. Ainsi, que l'on considère l'une ou l'autre des hypothèses, il s'ensuit une contradiction. Mais là, on peut s'en tirer par une pirouette si l'on considère que le barbier est une femme…

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