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CHAT
 
Octobre 2006

"On a réussi à faire des sciences uniquement un moyen de sélection"

Les maths et les sciences à l'école ne vous ont pas laissé que des mauvais souvenirs : vous avez été nombreux à poser vos questions à Alexandre Moatti, auteur des Indispensables mathématiques et physiques pour tous.

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Pouvez-vous me donner un (ou plusieurs) exemple(s) concret(s) de mathématique du quotidien ?
Alexandre Moatti : Un premier exemple qui me vient à l'esprit est la cryptographie sur Internet, faite à base des nombres premiers. Les algorithmes de paiement sur Internet utilisent les nombres premiers.
Le mathématicien médaille Fields Alain Connes appelle les nombres premiers "la réalité archaïque des mathématiques", c'est une belle formule, mais cet archaïsme a aussi des applications pratiques, comme le paiement sur Internet.
Internet et aussi l'informatique sont des applications concrètes des maths, comme le sont la science de l'algorithmie, le traitement du signal.

"Une fractale c'est plus qu'une courbe mais c'est moins qu'une surface"

Comment un chat fait-il pour être à la fois mort et vivant ?
C'est le fameux chat de Schrodinger, paradoxe apparent de la mécanique quantique. Au niveau microscopique, il y a 50 % de chances que la particule se soit désintégrée et donc que la fiole de cyanure se soit brisée. C'est l'analyse quantique, au niveau microscopique, du sujet.
Au niveau macroscopique, celui d'un chat, on explique le paradoxe par le principe de la décohérence. Décohérence ? Dès qu'on sort du niveau microscopique, qui concerne un très petit nombre de particules, les interactions physiques sont en grand nombre et induisent ce qu'on appelle "la réduction du paquet d'ondes". Le chat ne peut être dans un état "mort ou vivant", il est soit mort soit vivant.

Quels sont les mathématicien et physicien que vous admirez les plus et pourquoi ?
En maths, je pense spontanément aux amateurs éclairés du XVII° siècle, comme Fermat et le moine Mersenne. Parce que les maths, c'était leur passe-temps, ils passaient leur temps à s'échanger des lettres, s'envoyaient les derniers nombres parfaits qu'ils avaient trouvés. Chez Fermat, il y a aussi cette fameuse phrase "j'ai trouvé une élégante démonstration mais je n'ai pas la place de la mettre". Il s'agissait de la démonstration de son fameux théorème de Fermat, qui n'a été faite qu'en 1995 ! Fermat l'avait-il vraiment démontré ? Cette phrase m'amuse beaucoup chez Fermat.
En physique je pense avant tout aux physiciens du début du XX° siècle, et j'ose avancer un ordre assez précis, puisque vous me demandez mes préférences :
1. Einstein 2. Werner Heisenberg 3. Louis de Broglie 4. Niels Bohr. C'est vraiment la capacité chez ceux-là à créer de nouveaux domaines, à révolutionner l'état précédent des connaissances, tout en insérant cet état précédent, que j'admire beaucoup !

J'ai souvent entendu parler du théorème de Fermat. Pouvez-vous me l'expliquer ?
Le (grand) théorème de Fermat est x ^ p = y ^ p + z ^ p. Fermat émet l'idée que cette équation, posée pour x, y, et z entiers, et p entier, est impossible pour p supérieur ou égal à 3.
Pour p=2, il existe de nombreuses solutions : ce sont les fameux triangles de Pythagore x=3, y=4, z=5. Ou aussi (de mémoire) x=185, y=57, z=176 pour prendre un triangle non semblable au précédent !
Mais pour p supérieur ou égal à 3, il n'existe en effet pas de solutions pour x, y, z entiers. Fermat émet cela comme une conjecture et le mathématicien anglais Wiles démontre cela en 1995, et encore, en deux fois, après que des générations de mathématiciens se sont cassé les dents dessus ! C'est maintenant le théorème de Fermat-Wiles.


Il parait qu'il y a des motifs de fractales dans la nature. Pouvez-vous expliquer ce que c'est et donner un exemple ?
Ce qui est amusant dans les fractales, c'est véritablement la dimension fractionnaire comprise entre 1 et 2. Une fractale c'est plus qu'une courbe (dimension supérieure à 1) mais c'est moins qu'une surface (dimension inférieure à 2). Il y a de nombreux exemples dans la nature qui peuvent être modélisés par des courbes fractales: les côtes rocheuses de Bretagne ou de Norvège, la feuille de fougère...

"Par extension, dans le langage courant, la quadrature du cercle c'est un problème insoluble, et pour cause !"

La quadrature du cercle, c'est quoi ?
Pour un cercle de surface donnée, vous connaissez le carré inscrit, celui qui s'inscrit dans le cercle.Vous connaissez le carré circonscrit, celui dans lequel le cercle s'inscrit exactement. La quadrature du cercle c'est trouver un carré de même surface que le cercle initial. Pour nos Anciens, cela signifiait bâtir ce carré-là avec des instruments géométriques règle et compas.
Eh bien c'est impossible, car pi n'est pas un nombre algébrique mais un nombre transcendant. Un mathématicien allemand démontre que pi n'est pas algébrique en 1882 mais entre temps, comme pour le théorème de Fermat, beaucoup croyaient avoir construit la quadrature du cercle. Par extension, dans le langage courant, c'est un problème insoluble, et pour cause !

En deux mots, est-ce que vous pouvez m'expliquer le théorème de Gödel ?
C'est une véritable révolution dans les maths en 1931 avec Gödel. Décrire cela en deux phrases est difficile, même en un chapitre dans mon livre c'était limite ! En fait Kurt Gödel démontre que dans un système mathématique donné, il prend l'arithmétique, on peut démontrer une chose et son contraire. Plus précisément que dans un système d'axiomes donné, on peut trouver une proposition qui soit vraie, et aussi que son opposée soit vraie ! Cela a été très mal compris avant-guerre : de nombreux mathématiciens pensaient que c'était de la philosophie or c'est une véritable démonstration de mathématiques que fait Gödel. C'est de la "logique mathématique". De la même manière de nombreux philosophes ont cru pouvoir interpréter que "les mathématiques, c'était fini", ce qui est tout aussi faux.

Ne devrait on pas davantage enseigner l'histoire des maths et de la physique à l'école pour montrer tous les cheminements des courants de pensée et voir les débats qui ont fait progresser la science?
Oui oui je pense vraiment, en physique notamment que l'on devrait plus enseigner l'histoire de la physique. Plusieurs remarques sur l'enseignement, sans polémique, factuelles.
Les étudiants des filières scientifiques (Universités, Grandes écoles) ont jusqu'au bout un enseignement de culture générale (français, langue, philo même!). Les étudiants des filières non scientifiques : littéraire, politiques, juridiques, commerciales, n'ont plus d'enseignement de culture scientifique générale après la terminale. Pour eux les sciences auront été un moyen de sélection, c'est tout. Il est même de bon ton de s'en détacher par la suite.
Il faut essayer de remédier à cela en maintenant chez les jeunes dans toutes les filières une culture scientifique générale. Ll'histoire des sciences est en effet un bon moyen, notamment en physique où le savoir est partiellement substitutif (la physique c'est comme un roman), pour intéresser les étudiants aux sciences.

Pourquoi les objets tombent et à quelle vitesse ?
C'est la loi de l'attraction universelle de Newton. Les objets tombent tous avec la même accélération, et ce quelle que soit leur masse. Si vous prenez deux objets de poids très différents, vous les lâchez de la même hauteur, ils ont la même accélération donc acquièrent progressivement la même vitesse. Cette expérience, celle de Galilée du haut de le tour de Pise, m'a toujours fasciné. Faites-là vous-même, prenez deux objets de poids très différent, par exemple votre trousseau de clefs et votre câble d'oreillette GSM, et laissez-les tomber de 5m de haut. Ils arriveront au sol en même temps. Quand Galilée fait cette expérience, on ne connaît pas l'accélération de la pesanteur G. C'est Newton qui au début du XVIIIe fait la théorie de la pesanteur, et introduit cette constante G.

  • Le livre
  • Les indispensables mathématiques et physiques pour tous
  • Les indispensables mathématiques et physiques pour tous
  • Alexandre Moatti
  • Editions Odile Jacob
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Est-ce que vous pouvez faire une définition du "chaos pour les nuls" ?
Considérons un système donné, régi par des équations différentielles, partant de conditions initiales données. Ne vous effrayez pas des mots, jusque là on pose le sujet.
Il peut arriver qu'une très très légère variation dans les conditions initiales donne des résultats très différents dans le mouvement du système. C'est Poincaré qui en a l'intuition pour la météorologie en 1900.
Mais cela reste au stade de l'intuition, il faut attendre 1963 pour qu'un chercheur américain en météorologie, Lorenz, mette en évidence un système chaotique. Il avait tout simplement arrêté son gros calcul informatique à mi-parcours. A l'époque c'étaient des fiches perforées sur d'énormes babasses et le lendemain, il reprend son calcul en mettant en conditions initiales une approximation de s résultats obtenus la veille au soir. Eh bien ce qu'il obtient est complètement différent de ce qu'il avait obtenu en laissant le calcul se faire sans interruption.
C'est cela un système chaotique, une variation infinitésimale provoque des résultats incomparablement différents. "Le battement d'ailes d'un papillon en Australie peut provoquer un ouragan au Texas". On retrouve la météorologie comme champ d'application de la théorie du chaos.

Qu'appelle-t-on le nombre d'or ?
C'est la solution de l'équation algébrique phi au carré = phi + 1. Il vaut 1,618... Les Anciens appelaient cela "le partage d'un segment en moyenne et extrême raison". C'est moins excitant que le "nombre d'or"! C'est aussi la limite à l'infini des suites dites de Fibonacci.
Reportez-vous à la littérature scientifique: sur le chat de Schrödinger et sur le nombre d'or ont été écrites tant de choses que c'en est presque devenu indigeste !

"Le partage d'un segment en moyenne et extrême raison, c'est moins excitant que le "nombre d'or"!"

Pourquoi selon vous la plupart des gens sont rebutés par les maths et les sciences dures en général ?
Un peu ce que je disais tout à l'heure, on a réussi à faire un moyen de sélection uniquement ! Ceux qui passent la barrière se détournent des sciences, ceux qui ne la passent pas en sont dégoûtés. Je n'ai pas de solution miracle. Il y a pourtant un véritable émerveillement à redécouvrir les sciences, que ce soit la physique où une théorie chasse l'autre (Einstein remplace Newton) ou les maths où l'on arrive à démontrer des conjectures d'il y a trois cents ans.
La science est pourtant au coeur de l'économie : c'est la constante de Planck (1900), la mécanique quantique, l'émission stimulée d'Einstein (1917) qui vous permettent d'écouter des CD ou de lire des DVD. Je crois que revenir à une histoire des sciences, à un enseignement montrant comment les sciences imprègnent la vie quotidienne serait une œuvre de salut public.

Quelles sont selon vous les plus grandes découvertes en physique ?
L'héliocentrisme de Copernic et Galilée, en 1550 et 1610.
La gravitation de Newton (déjà mentionné).
La relativité restreinte (1905) et générale (1915), dont on commence à percevoir en 1960 avec la conquête de l'espace les effets. Une des premières applications pratiques de la relativité est le GPS.
La mécanique quantique, bien sûr.
Les rayons X et la radioactivité, j'en retiendrai toutes les applications liées à la santé, qu'on oublie trop souvent par rapport aux applications nucléaires.

Votre livre, il s'adresse à tout le monde ou seulement à ceux qui ont fait math sup ?
Mon livre s'adresse aux profs du secondaire qui veulent faire des choses en plus avec leurs élèves. Il s'adresse aussi aux élèves à partir de la première S et la terminale. Allez voir mon blog www.indispensables.net, cliquez "d'autres quasi-indispensables mathématiques", et vous aurez une idée de ce que je veux faire partager...

Le pendule de Foucault, qu'est-ce que c'est exactement et comment ça marche ?
Le pendule il faut aller le voir au Panthéon. C'est la première mise en évidence sur Terre de la rotation de la Terre autour d'elle-même. Normalement le pendule doit rester dans un plan fixe dans lequel son mouvement est entretenu. En fait il donne l'impression de tourner, comme on peut le constater sur la table graduée qui figure sous lui mais en fait c'est la table graduée qui tourne avec la Terre : le Nord de la table graduée tourne moins vite que le Sud de la table graduée ! C'est pour cela que le pendule donne l'impression de tourner.
Il subit en fait la force fictive de Coriolis. La translation de la Terre, c'est à dire sa rotation autour du Soleil, est, elle, impossible à mettre en évidence par une expérience terrestre, c'est une application du principe de relativité.

Est-il possible de survivre dans le monde actuel en étant nul en maths ?
Oui, du moment qu'on s'y intéresse! Etre curieux des maths c'est être curieux de la vie, non? C'est bien ce que vous avez fait en assistant à ce chat !

Alexandre Moatti : Merci à tous, c'est très sympa de pouvoir parler de sciences sur Internet. Et même si faire un chat est plutôt sportif pour les doigts, c'est mon esprit que vos questions ont stimulé ! Merci à tous de nouveau.

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