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Fractales, chaos et complexité

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L'ensemble de Mandelbrot
Rappelons qu'un objet fractal est doté d'une propriété dite d'autosimilitude (ou similitude interne) : c'est à dire qu'on y observe une invariance par changement d'échelle. Pour être plus prosaïque, si l'on "zoome" d'un facteur suffisant sur une partie de la courbe (ou d'une surface, ou d'un volume, suivant la dimension), on retrouve la structure et la topologie de celle-ci à sa taille initiale. Un zoom plus grossissant encore reproduit le phénomène, aussi loin qu'on puisse aller. Par nature les courbes fractales (du latin fractus, "brisé") ne sont donc pas "lisses".

Sensibilité aux conditions initiales
Les courbes fractales sont reliées à la théorie du chaos : celle-ci constate que certaines suites mathématiques (une condition nécessaire mais non suffisante est que leurs équations soit non linéaires, c'est à dire "comportant des carrés") se caractérisent par une sensibilité extrême aux conditions initiales : il est impossible de prédire le comportement de la suite après n itérations (convergence ou divergence) dans une certaine région du plan ou de l'espace, tout simplement parce qu'un point initial donné et son voisin immédiat, quelle que soit l'échelle, produiront deux comportements très différents (convergence ou divergence de la suite qu'ils initient, à des vitesses plus ou moins rapides).

On entend souvent des phrases du genre : "un battement d'aile de papillon en Chine provoque une tempête en Europe" pour décrire le chaos, traduisant cette sensibilité aux conditions initiales (une infime variation du point de départ traduit un phénomène final extraordinairement différent).

Invariance d'échelle
Propriété étonnante qui trouve des expressions un peu partout (de l'évolution des cours de bourse à la fameuse mesure de la longueur de la côte de la Bretagne, en passant par la forme des fougères !), l'aspect fractal est donc relié au chaos mathématique par la notion d'invariance d'échelle : les mêmes structures (mathématiques) globales se reproduisent à l'identique, mais avec des tailles différentes, plus on augmente le "maillage" avec lequel on découpe l'espace dans lequel elles se déploient.

C'est ainsi qu'on construit le fameux ensemble de Mandelbrot, "découvert" (tant son incroyable complexité lui confère un statut d'objet platonicien) en testant la vitesse de convergence ou de divergence d'une suite simple, en tout point de l'espace. Sans l'informatique, il n'aurait pas été possible d'obtenir ce type de figures intriguantes.
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