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L'infini mathématique

Jérôme Bidard , La Ssay Les Chateaux le 26 novembre 2008

Quel truc ne comprenez-vous pas et que vous aimeriez qu'on vous explique ?

Il parait qu'il y a autant de points sur un segment de droite ( à savoir une infinité) que sur un segment plus grand. Qu'en est il exactement ?

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Vos réactions

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Michel De Jonge
Je ne suis pas d'accord avec Florian.
De même qu'on peut mettre en relation chaque point du cercle et de la droite, ou chaque point du segment [ab ] et du segment [cd ], on peut mettre en relation chaque nombre réel et chaque nombre entier.

On pourrait très bien "numéroter" chaque nombre réel en lui attribuant un nombre entier. Les deux infinis sont donc identiques. Ajouter ou retrancher quoi que ce soit à cet infini donne l'infini.

C'est ce que l'on appelle un infini dénombrable et qu'on représente par "aleph 0" (la lettre hébraïque aleph majuscule avec un exposant zéro).

il existe d'autres catégories d'infinis, mais cela devient plus complexe et je ne pourrais l'expliquer ici
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Florian
Le meilleur moyen de comparer des ensembles infinis, comme le dit Nemo, c'est d'établir une fonction qui va du premier ensemble au second et qui, à chaque élément du premier ensemble, associe un et un seul élément du second. On appelle effectivement ça une bijection. L'ensemble infini des nombres réels est plus grand que l'ensemble infini des nombres entiers par exemple ! Donc il y a infiniment plus de points dans un tout petit segment qu'il ne rentrerait de grains de riz dans un sac.. Infini ! Ps: Cependant, il y a autant de grains de riz dans un sac infini qu'il n'y en a dans un milliers de sacs infinis identiques ; ) Plus rigoureusement, on peut établir une bijection entre N et N puissance mille !
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Nemo
Si tu as un segment de a à b, et un segment de c à d, tu peux passer de l'un a l'autre via f(x)=c +(d-c)(x-a)/(b-a)

Tu as alors ce qu'on appelle une bijection: une correspondance entre chaque point du premier segment, et chaque point du second. Donc il y a autant de point dans le premier que dans le second.
C'est plus rigolo de montrer qu'il y a autant de point sur un segment que sur une droite entière, mais c'est le même principe
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Philippe
En effet l'infini joue bien des tours à l'intuition..
Oui, il y a autant de points dans tous les segments de droite quelle que soit leur longueur.
Et il y a autant de points dans un segment de droite que dans une droite illimitée de part et d'autre.
Voici une démonstration intuitive :
- considérer un segment de longueur L
- courber ce segment pour en faire un cercle de circonférence de longueur L
- poser ce cercle sur la droite D illimitée de part et d'autre; le point de contact est P1 (D est tangente au cercle en P1)
- considérer le point P2 diamétralement opposé à P1
- pour tout point P3 du cercle, considérer la ligne passant par P2 et P3: elle coupe la droite D en un point P4
- inversement, pour tout point P4 du cercle, considérer la ligne passant par P2 et P4 : elle coupe le cercle en un point P3
On a mis en correspondance 1 par 1 les points du cercle et les points de la droite :
les points du cercle sont donc aussi nombreux que les points de la droite.

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Dominique
Et il y a autant de points sur un segment que dans un carré. Dans la série des transfinis de Cantor, c'est aleph 1. Aleph 0 est le nombre d'entiers. C'est aussi un infini mais moins que aleph 1
Et oui, il y a des infinis plus infinis que d'autre.

Les problèmes liés à l'infini sont assez complexes. Ils ont donné lieu par exemple à l'axiome du choix. On peut décider qu'il sera vrai ou faux car il n'est pas démontrable.
En gros, il dit que l'on peut imaginer un dénombrement infini de type aleph 1, ce qui n'est pas forcément évident, alors que tout le monde accepte que l'on puisse imaginer un dénombrement infini de type aleph 0 (compter de 1 à l'infini)
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Bertrand
C'est exact, parce qu'un point mathématique n'a pas d'épaisseur. Il est donc toujours possible d'en caser un entre deux autres, et ainsi de suite... À l'infini.
Du coup, attendu qu'ajouter (ou soustraire) n'importe quelle valeur à l'infini donne toujours l'infini pour résultat, il y a une infinité de points dans n'importe quel segment de droite, indépendamment de sa taille
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