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Théorème de Pythagore

René Rhode , Bize le 06 décembre 2008

Quel truc ne comprenez-vous pas et que vous aimeriez qu'on vous explique ?

Lorsqu'on parcours la diagonale d'un rectangle en procédant par "marches d'escalier", la distance parcourue est toujours égale à la somme de la largeur et de la longueur. En multipliant le nombre de marches jusqu'à l'infini cela reste vrai. Non. A l'infini c'est le théorème de Pythagore qui s'applique. Pourquoi; ou se situe l'infini?

Qu'est-ce qui vous bloque sur cette question ?

La notion d'infini dans ce cas concret.

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Vos réactions

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Frédéric Besnard
Je pense que dans votre façon de procéder - en découpant un escalier en sous-escaliers - tient plus de la géométrie fractale que de la géométrie planaire, dans laquelle seulement le théorème de Pythagore s'applique.
Ainsi: quelle est la longueur des côtes marines de la France ? Tout dépend de l'échelle unitaire que l'on prend pour mesurer
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Michel
Ce qui vous bloque est d'imaginer l'infini comme une "quantité".

Dans votre question il faut pour être rigoureux introduire la notion de "limite". Cette limite est ce vers quoi on tend sans jamais l'atteindre et qu'on ne "dépassera" jamais (en diminuant ou augmentant).

Vos marches d'escaliers aussi nombreuses qu'elles soient, feront toujours la même somme. Elle représentent en effet un ensemble de tronçons verticaux et horizontaux qui ensemble totalisent respectivement la longueur et la largeur.

Par contre si vous devez écrire la fonction (la formule de la courbe) représentée par votre escalier, au fur et à mesure que vous diminuez les marches, celle-ci se rapproche de la diagonale. Lorsque vous tendez vers l'infini, l'écart entre votre escalier et la diagonale tend vers zéro et la diagonale est donc la limite de votre escalier. Au plus votre escalier devient petit, au plus il se rapproche de votre diagonale sans jamais rigoureusement l'atteindre (on peut toujours faire plus petit, à l'infini). A l'infini, la limite de votre escalier, c'est la diagonale, mais l'infini n'est jamais atteint. Mais à un certain point, l'écart est si faible qu'on le considère comme négligeable, malgré que ce soit approchant et rigoureusement inexact
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Daniel
Un trajet oblique sera toujours plus direct qu'un zig-zag en escalier, infini ou pas
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Jean-Claude
La longueur totale des "marches d'escalier" sera toujours la même, supérieure à la longueur de la diagonale
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