Depuis des siècles, les mathématiciens s'attaquent à des problèmes réputés insolubles, y consacrant parfois une vie entière. Et chaque branche des mathématiques a ses grandes questions. Parmi elles figurent les problèmes posés par le Hongrois Paul Erdős (1913-1996), esprit prolifique et voyageur infatigable qui ne possédait qu'une valise à moitié vide.

Au fil de ses errances, il a formulé plus de 1 200 problèmes, dont beaucoup portent sur les ensembles primitifs : des séries de nombres choisis de telle sorte qu'aucun ne soit exactement divisible par un autre. Prenons un exemple simple : 4, 5 et 6 forment un ensemble primitif, car aucun de ces nombres ne peut être divisé par un autre en tombant sur un nombre entier. Le "problème 1196", lui, cherchait depuis des années à établir ce qui se passe quand on choisit des ensembles de ce type composés uniquement de très grands nombres : jusqu'où peuvent-ils grimper ?

Pour saisir toute la difficulté du problème 1196, il faut imaginer que l'on ne se contente plus de petits nombres comme 4, 5 ou 6. La question consiste à se demander : "Que se passe-t-il si tous les nombres d'un ensemble primitif sont supérieurs à X et que nous voulons comprendre comment leur score peut croître lorsque X tend vers l'infini ?" Autrement dit, plus on repousse la limite vers des nombres gigantesques, plus le comportement de ces ensembles devient mystérieux.

C'est ce vertige mathématique, où l'on tutoie l'infini, qui a tenu les spécialistes en échec pendant des décennies et en particulier Jared Duker Lichtman, chercheur à l'université de Stanford. "La première fois que j'ai entendu parler de la conjecture des ensembles primitifs d'Erdős, c'était lors de ma dernière année d'université. Et je suis complètement tombé amoureux du problème", raconte-t-il à la BBC. Après quatre années d'efforts, il résout le problème 164, socle de sa thèse. Mais un autre l'obsède : le problème 1196, sur lequel il travaille encore trois ans durant.

Puis, un matin, tout bascule. Selon la BBC, Lichtman découvre dans sa boîte mail un courriel inattendu : un amateur affirme avoir résolu le problème 1196 grâce à une intelligence artificielle. L'auteur de cet exploit est un Britannique de 23 ans, Liam Price, sans diplôme universitaire en mathématiques. "J'ai imaginé une question astucieuse, je l'ai soumise à l'IA, et après environ 80 minutes de réflexion, elle m'a donné une solution", explique-t-il.

Sceptique au départ, Lichtman s'incline vite : "Après avoir passé environ une heure à lire et à examiner les données brutes produites par l'IA, il m'est apparu très clairement que son raisonnement était correct et que l'idée était excellente." Ce problème résistait pourtant aux experts depuis des décennies, et l'IA a exhumé une méthode négligée dans la littérature. Loin d'être amer, le chercheur voit dans la machine un allié : "L'IA commence à fonctionner, d'une certaine manière, comme une sorte de collaborateur avec lequel échanger des idées et recevoir des commentaires", selon lui. Un point de vue rare par les temps qui courent.