Prêt à relever le défi ? Chaque année, l'épreuve de mathématiques du diplôme national du brevet réserve son lot de sueurs froides aux collégiens. En 2026, c'est l'exercice 2, noté sur 4 points, qui a fait grincer bien des dents. Sa particularité ? Il condense à lui seul une bonne partie des savoirs attendus en fin de collège. À vous de faire mieux que les candidats !
Installez-vous confortablement et observez bien la figure. Deux droites, (BD) et (CE), se coupent en un point A. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. L'énoncé vous glisse quelques indices : AB = 6,4 cm, AC = 4,8 cm, AD = 4,8 cm et BC = 8 cm. À partir de ces seules informations, saurez-vous dérouler le raisonnement sans trébucher ?
Première manche : montrer que le triangle ABC est rectangle en A. Un indice ? Sortez de votre mémoire la réciproque du théorème de Pythagore. En comparant le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres, l'angle droit se révèle. Retenez bien ce point : il sera votre clé pour la suite.
Si les élèves devaient ensuite déterminer que DE = 6cm et AE = 3,6cm grâce au célèbre théorème de Thalès, nous allons passer directement à la dernière étape : déterminer l'aire du quadrilatère BCDE. Mais attention, le chronomètre tourne ! L'astuce se cache dans les diagonales de la figure. Vous les avez repérées ? La solution réside sur ce point ! Vous avez trouvé ? Bravo ! Sinon, voici la solution ci-dessous.
Puisque le triangle ABC est rectangle en A, les segments AB et AC sont perpendiculaires. Or ils portent justement les diagonales BD et CE, qui se croisent donc à angle droit en A.
Pourquoi est-ce si important ? Parce qu'il existe une règle bien pratique : quand les diagonales d'un quadrilatère sont perpendiculaires, son aire s'obtient en multipliant leurs deux longueurs, puis en divisant par 2. Sans cet angle droit, la formule ne fonctionnerait pas. C'est donc la question 1 qui, discrètement, débloque tout le calcul final.
Calculez maintenant leurs longueurs : BD = AB + AD = 6,4 + 4,8 = 11,2 cm, et CE = AC + AE = 4,8 + 3,6 = 8,4 cm. Il ne vous reste qu'un dernier réflexe à avoir, une propriété géométrique décisive. Rappelez vous : ici, les diagonales sont perpendiculaires. Or, lorsqu'un quadrilatère possède des diagonales perpendiculaires, son aire se calcule simplement en multipliant les deux diagonales avant de diviser par deux. Donc ici l'aire = (BD x CE) / 2.
Roulement de tambour, posez l'opération finale : (11,2 × 8,4) / 2. Et le résultat tombe : l'aire du quadrilatère BCDE vaut 47,04 cm². Alors, avez-vous trouvé la bonne réponse ? Si oui, vous auriez décroché haut la main ces précieux points du brevet !