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| En topologie, distinguer une sphère d'un tore est loin d'être évident, surtout dans "l'hyperespace". © DR |
| "On pourrait étirer le plan de métro comme un élastique : il resterait lisible. C'est cela un objet topologique." |
Poincaré est un grand physicien : il a failli devancer Einstein dans la découverte de la relativité. Mais c'est aussi un éminent mathématicien, un des inventeurs d'une discipline appelée topologie.
Topologie ? C'est une géométrie un peu particulière, issue du calcul différentiel et de la géométrie ordinaire. Prenons un exemple, en 2 dimensions : le plan de métro. Il ne montre pas les virages, ne respecte pas l'échelle mais montre les croisements, et respecte l'ordre des stations. On pourrait étirer le plan comme un élastique : il resterait lisible. C'est cela un objet topologique, un réseau, c'est-à-dire une collection de points reliés par des lignes. Tout comme le serait un circuit électrique.
Distinguer une pomme d'un beignet
En 3 dimensions, ça se complique. En topologie, un ballon de foot et de rugby sont identiques. Tout comme un beignet et une tasse à café : on peut remodeler le beignet sans le rompre afin qu'il devienne tasse.
Et pour réussir à distinguer, en topologie, un tore (le beignet) d'une sphère (le ballon), il ne s'agit pas de croquer dedans. Il semble impossible de déformer une sphère de manière continue pour former un tore.
Mais comment le démontrer ?
On peut utiliser l'approche suivante : soit S le nombre total de sommets, A le nombre total d'arêtes, F le nombre de faces.
Pour la surface d'une sphère, S-A+F=2
Pour la surface d'un tore, S-A+F=0
Pour un tore à 2 trous (8), S-A+F=-2
Tous les objets topologiquement identiques à une sphère (pomme, ballon de rugby, cube) vérifieront S-A+F=2.
Poincaré va plus loin : une sphère est en réalité une surface, un objet à 2 dimensions qui existe dans un espace à 3 dimensions. Imaginons maintenant un analogue de la sphère, objet en 3 dimensions dans un espace à 4 dimensions. On peut même augmenter encore le nombre de dimensions. C'est impossible à visualiser, certes, mais mathématiquement, c'est concevable. On parle d'hypersphères, et plus généralement d'hypersurfaces.
Voilà maintenant la question que pose Poincaré : comment définir si une hypersurface est topologiquement identique à une hypersphère ?
» Enoncé : Considérons une variété compacte V à 3 dimensions sans bord. Est-il possible que le groupe fondamental de V soit trivial bien que V ne soit pas homéomorphe à une sphère de dimension 3 ?
