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| Les zéros de la fonction zêta de Riemann. © DR |
| "On ne peut pas prédire quand apparaîtra le prochain nombre premier, mais l'organisation de ces nombres est régulière" |
Il figurait déjà sur la liste de Hilbert. Voilà donc un bon moment que les mathématiciens planchent dessus, mais sans succès : depuis 1859, exactement, date à laquelle le mathématicien allemand Riemann pose le problème. Mais quel est donc ce problème ?
En très résumé, il s'agit de connaître le plus précisément possible l'organisation des nombres premiers dans l'ensemble des entiers naturels.
Les nombres premiers sont ceux qui n'admettent comme diviseur que 1 et eux-mêmes. Par exemple 3, 7, 13
Vers 300 av J.-C., Euclide avait montré qu'il existe une infinité de nombres premiers et avait pressenti qu'ils se raréfiaient chez les grands entiers. On peut le mesurer grâce à Dn, la densité des nombres premiers, où Dn =P(n)/n où P(n) est le nombre de nombres premiers inférieurs à n.
En 1791, Gauss pressent que Dn se rapproche de 1/ln n vers les grands nombres. Chose qui sera démontrée en 1896.
Prédire l'apparition des nombres premiers
On connaît donc la densité des nombres premiers, qu'y a t-il de plus à trouver ? Eh bien leur répartition, car quel est le lien entre une fonction, continue telle 1/ln n et une série de nombres répartie de manière irrégulière ? C'est ce à quoi Riemann s'attaque.
D'abord, il souhaite redémontrer la conjecture de Gauss.
Pour cela, il se sert d'une fonction découverte par son prédécesseur Euler, en 1740 : la fonction zeta. Zeta(s) =1/1^s+1/2^s+1/3^s
pour s>1. L'intérêt d'une telle fonction, c'est que malgré son nombre infini de termes, elle possède une somme finie. Par exemple, Zeta(2)= (pi^2)/6.
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| Le mathématicien Bernhard Riemann. © DR |
Le lien avec les nombres premiers n'est a priori pas évident, mais Euler a montré aussi que pour tout s>1, Zeta(s)est égale au produit 1/(1-(1/p)^s) pour tous les p premiers.
Riemann remplace s par un nombre complexe z, d'où le nom de "fonction zeta de Riemann". De plus, il réussit à associer Dn, la densité des nombres premiers, aux solutions de l'équation zeta(z)=0.
Sa conjecture : ces solutions, appelées "zéros" s'écrivent sous la forme z=1/2 +bi, b réel donné. Autrement dit, dans un plan à 2 dimensions, les "zéros" se trouvent répartis sur une ligne. Cela implique également que l'écart entre Dn et la courbe 1/ln n varie de manière aléatoire, un peu comme varie autour de ½ la proportion de pile ou face obtenue en lançant une pièce : on ne peut pas prédire avec précision quand apparaîtra le prochain nombre premier, mais l'organisation de ces nombres est très régulière.
Voilà ce que prétend Riemann et qu'il reste à démontrer.
